现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图:Ⅰ、Ⅱ区宽度均为
L,存在垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度等大反向;Ⅲ、Ⅳ区为电场区,Ⅳ区电场足够宽,各区边界均垂直于
x轴,
O为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为+
q,质量均为
m的粒子。如图,甲、乙平行于
x轴向右运动,先后射入Ⅰ区时速度大小分别为

和

。甲到
P点时,乙刚好射入Ⅰ区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°,甲到
O点时,乙恰好到
P点。已知Ⅲ区存在沿+
x方向的匀强电场,电场强度大小

。不计粒子重力及粒子间相互作用,忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。
(1)求磁感应强度的大小
B;
(2)求Ⅲ区宽度
d;
(3)Ⅳ区
x轴上的电场方向沿
x轴,电场强度
E随时间
t、位置坐标
x的变化关系为

,其中常系数

,

已知、
k未知,取甲经过
O点时

。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动,设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为
F,甲、乙间距为Δ
x,求乙追上甲前
F与Δ
x间的关系式(不要求写出Δ
x的取值范围)
