学进去

雨过天晴，空气内悬浮着大量小水滴，若阳光从背后以低角度照射，观察者便可能观察到彩虹（图a）．有时会同时出现两条彩虹，内层彩虹称为主虹（1级虹），它来自阳光进入水滴后的一次反射；在主虹外边较暗的虹称为副虹或霓（2级虹），它来自阳光在水滴内的两次反射．光线在水滴内还可能发生三次及以上的反射，并产生相应级次的虹．在自然界中通常只能观察到1级和2级虹，更高级次的虹可以在实验室环境下呈现．
   
考虑一个球形水滴，直径为量级．如图b，一根入射光线与球心确定一个平面，该平面与球形水滴表面相交形成一个圆（大圆），进入水滴的光线经折射、反射后的出射光都在此平面内．把光线在水滴内经过次反射后的出射光称为级光，出射光相对入射光方向偏转的角度称为偏向角（见图b）．
(1)已知入射光线在水滴外表面上的入射角为,空气和水的折射率分别为1和．试求级光的偏向角的表达式．
(2)当一束单色平行光照射水滴时，不同入射位置对应不同入射角（见图c）．当入射角变化时，级光的偏向角有一极小值,试求及其对应的入射角的表达式．
(3)由于色散，不同波长的光在水中的折射率不同．对于确定的入射角，试求级光偏向角对折射率的变化率与入射角的关系式，并求当取第（2）问中的时的表达式．
(4)图c是单色平行光照射到水滴后出射的1级光示意图，在1级光偏向角极小值附近出射的光线较为集中，即光强较大，此处出现1级虹，相应偏向角的极小值为1级虹的偏向角，类似地为级虹的偏向角．当白光平行入射时，取红光和紫光在水中的折射率分别为和,试分别计算和级虹的偏向角和以及虹的角宽度，并分别指出它们从内到外颜色排列的次序．角度的计算结果以度（°）为单位，精确到．
(5)透过偏振片观察彩虹，可发现彩虹的光是偏振光．设入射到水滴的光为单色自然光，出射光中偏振（偏振方向垂直于入射面）的光强为，偏振（偏振方向平行于入射面）的光强为,光的偏振度定义为．当入射光为红光时，试分别计算和级虹出射光的偏振度．
提示：当光从折射率为的介质射向折射率为的介质，入射角和折射角分别为和，对于偏振，反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为
对于偏振，反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为
(6)在某些条件下可观察到紧靠虹的边缘出现额外的彩色条纹，该现象称为“附属虹”，如图d所示．试定性解释附属虹产生的原因．