学进去

想必大家都转过硬币吧，如果没有转过也可以拿手边一元硬币试试。我们在硬币旋转过程中可以观察到如下现象：
（a）你会发现从上面看来硬币旋转速度在变慢
（b）硬币发出响声的频率在加快
这两者似乎是矛盾的，因为前面告诉我们硬币越转越慢，后者告诉我们它越转越快。本题尝试建立模型解释这种奇妙的现象。首先我们假定我们给硬币一个初始角动量，使硬币转起来获得较大的轴角动量，然后硬币掉落在摩擦系数极小的光滑桌面上，因此能量损失会较为缓慢，能作为准静态考虑。硬币边缘对于桌面是纯滚的，旋转过程可以看作是旋转对称的。设硬币（抽象成一个均质圆柱体）厚度为，半径为，质量为，请回答下列问题：
（1）图中轴为硬币的主轴（原点在质心），求转动惯量；
（2）我们考虑硬币对于桌面倾斜角为时的旋转。假定在一个周期内不会改变，改变的只是硬币平面的方向，硬币的质心在周期内可认为不动的。我们定义经过质心、垂直于硬币平面向上为轴，由硬币质心指向接触点所在母线中点为轴，轴参照右手系原则定义。同样的，你也可以定义实际的轴，轴垂直于桌面向上，轴正方向定义为硬币质心对于桌面的投影指向硬币与桌面接触点，轴与轴指向相同。请求出（可认为，认为无摩擦力，以后均按照此定义）
a．旋转面相对于桌面的角速度（方向指向轴正方向）；
b．硬币的视角速度（即从硬币在顶上看花纹的运动角速度，可以用转一圈花纹的角位移除以转一圈用时来计算）；
c．硬币的总能量
（3）能量必定会有损失，而这种损失我们在本题中可以假定是由于硬币边缘与桌面碰撞产生的，因此可以假定是硬币与桌面接触点在桌面上的运动速度（注意：接触点是硬币与桌面的接触点，不是硬币上固定的一点）。请求出在较小时角度与时间的关系（假定时），并给出发出响声的频率与时间的关系。你可以假定初态为。