学进去

金属内部有温度梯度时可以在其两端产生电动势，该效应被应用于热电偶温度计等。为了分析此现象，现建立一个简单的经典玩具模型，如图a示：一厚度为、沿着y、z方向无限延展的金属平板，位于区域；而区域为真空，电场为零。将金属内的导电电子视为在空间均匀的正电荷背景上运动的经典理想气体。没有温度梯度时，呈电中性的金属内部的电子是完全均匀分布的，其数密度为；有温度梯度时，金属内的温度是x的函数，，且。在（局域）热平衡状态下，金属内电子数密度会略微偏离，。金属内部也会有很小的沿x方向的电场。金属表面内侧也分别有很小的面电荷密度和。已知电子质量为m，所带电荷为。忽略重力，玻尔兹曼常量为。
（1）粒子数密度的不均匀性会引起粒子的扩散。若在时间间隔内通过平面上面积为的粒子数为，则被称为粒子流密度。粒子扩散流密度满足斐克（Fick）定律,式中D是扩散系数这里，c是已知常量。在平衡状态下，金属内部应该没有净的电流，因此前述的电子扩散流会被内部电场产生的漂移电流抵消。为简化起见，设金属的电阻率是与等无关的已知常量。求金属板内部电场的表达式（用、、和其他常量表出）。
（2）试由静电场高斯定理导出满足的微分方程：并利用（1）的结果消去电场，导出满足的微分方程和边界条件。真空介电常量为。（提示：净的电荷密度包含正电荷背景）
（3）将（2）中方程线性化，即只保留、等小量的线性项，解出（解中可包含和）。
（4）假设金属内存在温度梯度，即不为零，但在任意x处电子气（可视为理想气体）处于局域热平衡；电子气中的电子受到电场的作用，但厚度为的薄层内的电子气仍处于宏观的力学平衡状态。试导出满足的微分方程，并将其线性化。再利用（3）的结果，求出。
（5）根据（3）和（4）的结果，求出金属两端（和）的电势差和温度差的比值（即金属的Seebeck系数S）。附注：对金属温差电现象的正确分析必须考虑电子的量子效应，本题目中的简化经典模型并不适用于真实情况。