学进去

2019年1月3日，我国“嫦娥四号”探测器在月球背面成功着陆并发回大量月背影像．如图所示为位于月球背面的“嫦娥四号”探测器A通过“鹊桥”中继站B向地球传输电磁波信息的示意图．拉格朗日L₂点位于地月连线延长线上，“鹊桥”的运动可看成如下两种运动的合运动：一是在地球和月球引力共同作用下，“鹊桥”在L₂点附近与月球以相同的周期T₀一起绕地球做匀速圆周运动；二是在与地月连线垂直的平面内绕L₂点做匀速圆周运动．已知地球的质量为月球质量的n倍，地球到L₂点的距离为月球到L₂点的距离的k倍，地球半径、月球半径以及“鹊桥”绕L₂点做匀速圆周运动的半径均远小于月球到L₂点的距离（提示：“鹊桥”绕L₂点做匀速圆周运动的向心力由地球和月球对其引力在过L₂点与地月连线垂直的平面内的分量提供）．

（1）若月球到L₂点的距离r=6.5×10⁷m，k=7，“鹊桥”接收到“嫦娥四号”传来的信息后需经t₀=60.0s处理才能发出，试估算“嫦娥四号”从发出信息到传回地球的最短时间（保留三位有效数字）；
（2）试推导“鹊桥”绕L₂点做匀速圆周运动的周期T的（近似）表达式．若k=7，n=81，T₀=27.3天，求出T的天数（取整数）.